தொகைநுண் கணிதத்தின் அடிப்படை அறிமுகம் :
சார்பு மிக எளிமையாக இருப்பினும்
ன் மதிப்பை தொகையீடுகளின் கூட்டலில் எல்லைகளாக தீர்வு காண்பது மிகவும் கடினம் என்பதை மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் கண்டோம். நியூட்டன் மற்றும் லிபினிட்ஸ் இருவரும் கிட்டத்தட்ட ஒரே காலத்தில் வரையறுத்த தொகை இல்லை ஓர் எளிய முறையில் காண வழிவகுத்தனர். இம்முறையானது முதல் மற்றும் இரண்டாம் நுண் கணித அடிப்படை தத்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.
a<b
a<c<b
![\int\limits_a^b {\left[ {\alpha f(x) + \beta g(x)} \right]} dx = \alpha \int\limits_a^b {f(x)dx} + \beta \int\limits_a^b {g(x)dx}](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vvw4wMv9jl8G-qqhdNSPjK28PTMACXG2wkEgAuCzWjPyA-P-HV-Petx_TuzTrJ0jFQOU_P6MbZ0gT8noaTr3dVgXlq6cQIRnV-tjEMpPfUsoy1di-pV22AuDQgbMmDWMRofs1wOu641BdPHW0PKjiUNoeVq3iMiowXa9T2pw_5jtZECHERXjmGvVfmW2n0wwXwDCgFtDRGrd-zb0h56wxEuxxQPoLycetMQYhLPA_zAkimFJjLZKBbv57MDn1ak_QCcwTqNkDIKvOoEQ1OIsR_xwId1nABgsZGhHXrKW4guv87o4okZqVUBjhFCB3g1y-elL3Sb9nXyy4R-q2zYI7oAOJA5l-_k3QP0VsDS06wBUfzO-TmZhFV1Q3pfVkXb3uHe7qH05goVR_VOOBAr2ioAP9E=s0-d)
. இங்கு g(c)=a மற்றும் g(d)=b மாறிலிகள்.
ன் மதிப்பை தொகையீடுகளின் கூட்டலில் எல்லைகளாக தீர்வு காண்பது மிகவும் கடினம் என்பதை மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் கண்டோம். நியூட்டன் மற்றும் லிபினிட்ஸ் இருவரும் கிட்டத்தட்ட ஒரே காலத்தில் வரையறுத்த தொகை இல்லை ஓர் எளிய முறையில் காண வழிவகுத்தனர். இம்முறையானது முதல் மற்றும் இரண்டாம் நுண் கணித அடிப்படை தத்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இத்தேற்றங்கள் ஒரு சார்பிற்கும் அதன் எதிர் வகையிடலுக்கும்(முடியுமெனில்) உள்ள தொடர்பை நிலைநிறுத்துகிறது. இத்தேற்றங்கள் வகை நுண்கணிதத்திற்கும் தொகைநுண் கணிதத்திற்கும் உள்ள தொடர்பை ஏற்படுத்துகின்றன. பின்வரும் முக்கிய தேற்றங்கள் நிரூபணம் இன்றி கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.![\left[ {F(x)} \right]_a^b](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sADLGhcIdlcWuPb-egDVTFC9AV_Qyru2BzwTupoqE8C3kPYKaYoHznruYD7pTC-KasjQdMTRyB1_VcvYjL5SggavFj1ZCzkdkDn2DDiI2XpZb8IBRfAUO2zQfU-2uS9QmRI1iqcYdDz3TnHdFeBO4yW1Y6k_O5RC2w7Z2muD-hqNYl5ykJJCTYq0aV7rNGOxeH0Y58ytx3U3k38t1G=s0-d)
சுருக்கமாக எழுதலாம். வரையறுத்த தொகையின் மதிப்பு ஒருமைத் தன்மை உடையது.
முதல் தொகை நுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றம்: f(x) என்பது 
எனில் , 
.அதாவது F(x)-ஆனது f(x)-இன் எதிர் வகையீடு ஆகும் .
எனில் , .அதாவது F(x)-ஆனது f(x)-இன் எதிர் வகையீடு ஆகும் .இரண்டாவது தொகைநுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றம்: f(x) என்பது ![\left[ {a,b} \right]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s_2F5gMIwDAwuxqqtEzPcwajG7cVAIK7K2l8SLwDjtm-_Ze0UzS7-A--7X81jPOt68pOmwT3f2i2rW2Ful0KFdzkpxO_T78cMrf9I2Vk7l49lZPMlmyjGP7a0dBMR_0UalLI7QgMLkZA9CyfIFj8IgfR11SQzfsi4h87aCm2Hb2eKFLaqG0_wM9IH9i2zGUOmMVmH19Cs=s0-d)
என்ற மூடிய இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான சார்பு மற்றும் F(x)- ஆனது f(x)- இன் எதிர் வகையீடு எனில், 
F(b)-F(a) ஆனது என்ற வரையறுக்கப்பட்ட தொகையிடலின் (ரீமன் தொகையிடல் ) மதிப்பானதால் எதிர்மறை வகையீடு F (x ) உடன் சேர்க்கப்படும் தன்னிச்சை மாறி நீக்கப்பட்டுவிடும். எனவே வரையறுத்த தொகையிடலின் மதிப்பு காணும்போது எதிர் வகையீடுடன் தன்னிச்சை மாறியை சேர்க்க தேவையில்லை. F(b)-F(a)-ஐ இப்படி
என்ற மூடிய இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான சார்பு மற்றும் F(x)- ஆனது f(x)- இன் எதிர் வகையீடு எனில், சுருக்கமாக எழுதலாம். வரையறுத்த தொகையின் மதிப்பு ஒருமைத் தன்மை உடையது.இரண்டாவது தொகைநுண் கணித தேற்றத்தின் வாயிலாக பின்வரும் வரையறுத்த தொகையிடலின் பண்புகளை பெறுகிறோம். அவற்றை நிரூபணம் இன்றி இங்கு காண்போம்.
பண்பு-1
a<bஅதாவது எல்லைகள் மாறாமல் இருக்கும்போது மாறியை மாற்றுவதால் தொகையிடலின் மதிப்பு மாறாது.
பண்பு -2
அதாவது வரையறுத்த தொகையிடலில் எல்லைகளை இட மாற்றம் செய்யும்போது வரையறுத்த தொகையிடலின் குறியீடு '-' ஆக மாறும்.
பண்பு-3
a<c<bபண்பு-4
இங்கு ஆல்பா மற்றும் பீட்டா இரண்டு மாறிலிகள்.
பண்பு-5
x=g(u) எனில்,
. இங்கு g(c)=a மற்றும் g(d)=b மாறிலிகள்.இப் பண்பானது வரையறுத்த தொகைகளில் பிரதியிடல் முறையை பயன்படுத்த உதவுகிறது.
Tags
தொகை நுண்கணிதம்