சமன்பாட்டியல் - அறிமுகம் :
" சமன்பாட்டின் அழகை ரசிக்க முற்படும் ஒருவர் உண்மையிலேயே நுண்ணறிவுடன் ரசிக்க முற்பட்டால் மிகவும் சரியான கோணத்தில் தான் ரசிக்கிறார் எனலாம்". - பால் டிராக்
இயற்கணித சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் காண்பது கணிதத்தின் மிகப்பழமையான சவால்களில் ஒன்றாகும். அதிலும் குறிப்பாக பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாடுகளின் மூலங்களை கண்டறிய முயல்வதுதான் எனலாம். ஏறத்தாழ கி.மு(பொ .ஆ .மு ) 2000 ஆண்டு காலகட்டத்தை சார்ந்த சுமேரியர்கள் மற்றும் பாபிலோனியர்களில் ஆரம்பித்து, உலக நாடுகளின் பல்வேறு பகுதிகளான எகிப்து , கிரேக்கம் , இந்தியா , சீனா மற்றும் அரபு நாடுகளை சார்ந்த கணிதவியலாளர்கள் மற்றும் தத்துவ அறிஞர்கள் அனைவரும் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடு களுக்கு தீர்வு காண விழைந்தனர்.பண்டைய காலத்தில் கணிதவியலாளர்கள் கனவுகளையும் அதன் தீர்வு முறைகளையும் முழுவதும் வார்த்தைகளால் வடித்தனர். பொது வழிமுறைகளை தவிர்த்து குறிப்பிட்ட தீர்வு அமையும் கணக்குகளில் ஆர்வம் செலுத்தினர். குறை எண்களை கொண்டுள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வினை பிரம்ம குப்தர்கள் தான் முதன் முறையாக கண்டறிந்தனர். பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் ஆராய்ந்த கணிதவியலாளர்களில் சிலர் யூக்ளிட், பிரம்மகுப்தர் , உமர்கய்யாம் , பிபனோசி ,டெஸ்கார்ட்டே மற்றும் ரூபினி ஆகியவராவர் .
ஐந்தாம் படி சமன்பாடுகளின்தீர்வு காண இயற்கணித முறையில் சூத்திர முறை ஏதும் இல்லை என்பதை நிரூபிக்க புரிந்துகொள்ள சிரமப்படும் வகையில் மிக நீண்ட வாதங்களை முன்வைத்து நிரூபித்தனர். இறுதியாக 1823 ஆம் ஆண்டு நார்வேஜியன் கணிதவியலாளர் ஏபெல் அதனை எளிய முறையில் நிரூபித்தார்.
ஒரு உற்பத்தி நிறுவனம் தன் தயாரிப்புகளை செவ்வக வடிவான பெட்டிகளில் அடைக்க விரும்புகிறது. அந்த நிறுவனம் அகலத்தை விட ஆறு மடங்கு நீளம் அமையுமாறும் அடிமான நீளம் மற்றும் அகலத்தின் கூட்டு சராசரியாக உயரம் அமையுமாறு பெட்டிகள் தயாரிக்க திட்டமிட்டுள்ளது. எனவே அந்த நிறுவனம் வரையறுக்கப்பட்ட கனஅளவு கொண்ட பெட்டியின் பல்வேறு பக்க அளவுகளின் சாத்தியக்கூறுகள் பற்றி அறிய விரும்புகிறது.
அடிமனத்தின் அகலம் x எனவும், நீளம் x+6 எனவும் மற்றும் உயரம் x +3 எனவும் கணக்கிடப்பட்டால் பெட்டியின் கன அளவு x ( x +3)(x+6) என அமையும். கன அளவு 2618 சதுர அடியாக கொண்டால் 
என அமையும். இச்சமன்பாட்டினை தீர்க்கும் வகையில் x -ன் மதிப்பு அமைந்தால் தேவையான அளவுகளுடன் பெட்டி அமையும்.
ஒரு வட்டமும் ஒரு நேர்கோடும் இரு புள்ளிகளுக்கு மேல் வெட்டிக் கொள்ளாது என நாம் அறிவோம். இதனை எங்கனம் நிரூபிப்பது? இத்தகைய கூற்றுக்களை நிரூபிக்க கணித சமன்பாடுகள் உதவுகின்றன. x y தளத்தில் ஆதி புள்ளியை மையமாகவும் r - ஐ ஆர மாகவும் உள்ள வட்டத்தின் சமன்பாடு , 
என அமையும். மேலும் இதே தளத்தில் அமைந்த ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு ax+by+c=0 என அறிவோம். பட்டமும் நேர்கோடு வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகள் இரு சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் . வேறு வகையில் சொல்வதென்றால்,
ஆகிய உடன் நிகழ் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளே வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகளை தரும். மேற்கண்ட சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளில் இருந்துதான் அவை ஒன்றையொன்று தொடுகிறதா? , இரு புள்ளிகளில் மட்டும் வெட்டுகின்றதா? அல்லது வெட்டி கொள்வதே இல்லையா? என நாம் தீர்மானிக்க இயலும்.
பண்டைய காலத்தில் குறிப்பிட்ட சில வடிவ உருவமைப்பு கணக்குகளில் கவராயமும் வரைகோலும் (அலகுகள் குறிப்பிடாத நேர்முனை) மட்டுமே பயன்படுத்தி வடிவத்தை உருவமைக்கும் கணக்குகள் உண்டு. சான்றாக, ஒரு சீரான அறுகோணம் மற்றும் 17 பக்கம் கொண்ட பலகோணமும் இத்தகைய முறையில் உருவமைக்கலாம்.
ஆனால் எழுக்கோணத்தையோ அல்லது 18 பக்கம் கொண்ட பலக்கோணத்தையோ இவ்வாறு உருவாக்க இயலாது. குறிப்பாக கீழ்காணும் மூன்று பிரபலமான கணக்குகளில் கவராயம் மற்றும் வரைகோல் ஆகிய இரண்டை மட்டுமே பயன்படுத்த இயலாது. அவைகள் பின்வருமாறு ;
1) ஒரு கோணத்தை முக்கூறாக்குதல் (கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தை மூன்று சமகோணங்ளாக பிரித்தல்)
2)வட்டத்தை சதுரமாக்கல் (கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் பரப்பளவுக்கு சம பரப்பளவுள்ள ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குதல், இதற்கு கணித மேதை இராமானுஜனின் கைப்பிரதியில் தோராய தீர்வு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.)
3) கனச்சதுரத்தை இரட்டிப்பாக்கல் (கொடுக்கப்பட்ட கனசதுரத்தின் கன அளவுக்கு இருமடங்கு இணையாக ஒரு கன சதுரத்தினை உருவாக்குதல்)
இத்தகைய பண்டைய கணக்குகளுக்கான தீர்வுகள் பல்லுறுப்புக்கோவை கணக்குகளாக மாற்றிய பிறகே கண்டறிந்த முடிந்தது; உண்மையில் இத்தகைய வடிவமைப்புகளை உருவாக்க இயலாது. ஒரு செயலைச் செய்ய இயலுமா? அல்லது இயலாதா? நிரூபிக்க கணிதம் துணைபுரிகிறது.
நடைமுறை வாழ்வியல் பிரச்சினைகளுக்குத் தீர்வு காண வேண்டும் எனில், அவற்றினை கணிதவியலாளர்கள் கணக்காக மாற்றி , அறிந்த கணித முறைகளை பயன்படுத்தி கணிதத்தீர்வு எட்டியவுடன் மீண்டும் நடைமுறை வாழ்க்கைக்கு ஏற்ற வகையில் தீர்வினை தருவர்.
இத்தகைய ஒரு மாற்றங்களுக்கு உட்படும் வாழ்வியல் பிரச்சனைகள் கணிதத்தின் சமன்பாடுகளாகின்றன. ஒரு பெட்டியின் அளவுகளை பற்றி தீர்மானிக்கும் போதும் , குறிப்பிட்ட வடிவியல் முடிவுகளை நிரூபிக்கும் போதும், சில வடிவமைப்புகளை உருவாக்க இயலாது என நிரூபிக்கும்போதும் அவை கணித சமன்பாடுகளாகின்றன.
Tags
இயற்கணிதம்